Matematika B

Podklady ke cvičením

Jedná se o osobní poznámky používané k výuce. Podklady jsou postupně aktualizovány a doplňovány. Z toho důvodu se jejich správnosti zatím nedá věřit stoprocentně, ale dělám vše pro jejich postupnou kontrolu a také pro jejich zúplnění. Doufám, že i tak mohou posloužit. Nejprve následující osobní poznámky k jednotlivým tématům, kde je probrána zejména teorie. Poté následuje souhrn řešených i neřešených příkladů, které využívám přímo k výuce.

Sylabus:

  1. Vektory a matice, operace s vektory, lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost, operace s maticemi, hodnost matice (i s parametrem). Soustavy lin. algebraických rovnic. Frobeniova věta.
    Zadání příkladů
  2. Soustavy lin. algebraických rovnic s parametrem. Determinanty, inverzní matice, výpočet inverzní matice, maticové rovnice. Vlastní čísla matic, určování vl. čísel a vl. vektorů matice – stačí 2×2. Neučí se Cramerovo pravidlo.
    Zadání příkladů
    Zadání domácího úkolu
  3. Stručně geometrie v Rn (zejména v R2 a v R3). Metrika a norma vektoru v Euklidovském prostoru, význam skalárního a vektorového součinu. Parametrické rovnice přímky a roviny, obecná rovnice nadroviny. Geometrický význam soustav lin. algebraických rovnic. Příklady na vzájemnou polohu, vzdálenosti. Neučí se úhel vektorů a tedy ani odchylky přímek a rovin – pouze kolmost.
    Zadání příkladů
  4. Vlastnosti množin v Euklidovském prostoru (otevřená, uzavřená, omezená konvexní, obloukově souvislá). Funkce n reálných proměnných a její definiční obor.
  5. Graf funkce 2 proměnných, vrstevnice. Spojitost a limita jen velmi okrajově (na cvičeních lze i zcela vynechat). Zobrazení z Rn do Rk.
  6. Parciální derivace funkce více proměnných, gradient, derivace ve směru, derivace zobrazení (=Jakobiho matice). Derivování složených funkcí.
  7. Aplikace derivací funkce 2 proměnných (tečná rovina, totální diferenciál, Taylorův polynom, Newtonova metoda pro soustavy 2 rovnic).
  8. Probírá se vyšetřování lokálních extrémů funkcí dvou proměnných – stanovení stacionárních bodů a následná klasifikace dle determinantu Hessovy matice. Využití podmínek stacionarity na odvození a aplikaci nejjednodušší formy metody nejmenších čtverců.
  9. Ověřování, že zadaná rovnice definuje na nějakém okolí implicitně definovanou funkci. Zjišťování derivací funkcí zadaných implicitně.
  10. Křivky zadané parametricky v R2 a v R3, orientace křivky. Vektorové pole v R2 a v R3. Křivkový integrál vektorového pole, práce síly. Neučí se křivkový integrál skalárního pole.
  11. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Potenciál vektorového pole. Určování potenciálu v R2 a v R3. Neučí se pojem jednoduše souvislá oblast, místo ní uvádíme slabší větu pro konvexní oblast.
  12. Dvojný integrál a jeho geometrický význam. Výpočet dvojného integrálu postupnou integrací – Fubiniova věta. Polární souřadnice. Substituce pro dvojný integrál (stačí jen do polárních souřadnic). Neučí se trojný integrál.
  13. Soustavy dvou diferenciálních rovnic 1.řádu. Řešení autonomních soustav lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Stačí jen pro 2 různá reálná či komplexní vlastní čísla, případ dvojnásobného vlastního čísla se neučí.

Vektory a matice

Vektory a matice, operace s vektory, lineární kombinace vektorů, lineární závislost a nezávislost, operace s maticemi, hodnost matice (i s parametrem). Soustavy lin. algebraických rovnic. Frobeniova věta.

Soustavy rovnic

Soustavy lin. algebraických rovnic s parametrem. Determinanty, inverzní matice, výpočet inverzní matice, maticové rovnice. Vlastní čísla matic, určování vl. čísel a vl. vektorů matice – stačí 2×2. Neučí se Cramerovo pravidlo.

Geometrie v R^n

Stručně geometrie v Rn (zejména v R2 a v R3). Metrika a norma vektoru v Euklidovském prostoru, význam skalárního a vektorového součinu. Parametrické rovnice přímky a roviny, obecná rovnice nadroviny. 

Řešené i neřešené příklady

Jedná se o osobní poznámky používané k výuce. Podklady jsou postupně aktualizovány a doplňovány. Z toho důvodu se jejich správnosti zatím nedá věřit stoprocentně, ale dělám vše pro jejich postupnou kontrolu a také pro jejich zúplnění. Doufám, že i tak mohou posloužit. Nejprve následující osobní poznámky k jednotlivým tématům, kde je probrána zejména teorie. Poté následuje souhrn řešených i neřešených příkladů, které využívám přímo k výuce.