Model SEJR¶

Jeden z možných způsobů využití technik matematického modelování je simulace vývoje epidemie. Takový vývoj samozřejmě nelze popsat nikdy přesně a na efektivní popis by bylo potřeba odvodit mnohem sofistikovanější model. Nicméně pojďme si ukázat, že i za jistých zjednodušujících předpokladů lze odvodit relativně jednoduchý model, který sám o sobě není marný. Podíváme se na model SEIR.

Nejprve si představíme topologii modelu a jeho jednotlivé funkce. Předpokládejme, že se epidemie šíří tím způsobem, že se jednotlivec nejprve nakazí, ale ještě není infekční. Po určité době se nemoc rozjede a jednotlivec se stane infekčním (chcete-li, tak plně nakaženým). Poté buď skoná nebo se uzdraví. Budeme tedy operovat se čtveřicí skupin: S, E, I a R.

• Susceptibles $S(t)$ – skupina lidí, kteří nejsou nakaženi, ale jsou náchylní k nakažení
• Exposed $E(t)$ – Nakažení, ale ještě neinfekční lidí
• Infected $I(t)$ – Lidé, u kterých epidemi propukla naplno a jsou nakažliví
• Removed $R(t)$ – Skupina skonalých nebo vyléčených

Ke správnému popisu je nutné definovat míry s kterou dochází k přesunu jednotlivců z jedné skupiny do druhé. Nejefektivnější je definovat je jako procentuální změnu za jednotku času, chcete-li rychlost přechodu mezi skupinami. Při takém popisu dostaneme soustavu řídících rovnic

$$ \frac{\partial S}{\partial t}=- \xi S, $$$$ \frac{\partial E}{\partial t}=\xi S – aE, $$$$ \frac{\partial I}{\partial t}=aE – \nu I, $$$$ \frac{\partial R}{\partial t}=\nu I, $$

kde $\xi$ je míra změny z S do I (nakažlivost), $a$ je rychlost propuknutí infekčnosti a $\nu$ je míra s kterou se lidé zbavují infekce. Je dobré připomenout, že modelu je jedno, zda lidé ze skupiny R umírají nebo se vyléčí a stávají se již nenakazitelní. Na levé straně jsou časové derivace jednotlivých veličin, protože ty představují časovou změnu veličin. Např. rovnice $\frac{\partial E}{\partial t}=\xi S – aE$ říká, že skupina $E$ se zvětšuje nakažením lidí s mírou $\xi$ a $E$ se zmenšuje o ty, kteří se přesunou do skupiny $I$ s mírou $a$.

Model ještě doplníme o míru čerstvě se rodících $\mu_r$ a přirozeně umírajících $\mu_u$. Pro jednoduchost předpokládejme $\mu_r=\mu_u=\mu$. Přirozeně mohou umírat lidé z jakékoliv skupiny $S, E, I, R$, ale nově narozený se vždy stává členem skupiny $S$. Navíc ještě uvažujme, že míra $\xi$ je daná počtem kontaktů mezi lidmi a tedy pravděpodobnost nakažení roste, když se zvětšuje skupina $I$. Uvažujme tedy $\xi=\beta\frac{I}{N}$, kde $\beta$ je míra přenosu infekce vázaná právě na podíl $I/N$. Po úpravě a dosazení dostáváme

$$ \frac{\partial S}{\partial t}=\mu N – \mu S – \beta\frac{SI}{N}, $$$$ \frac{\partial E}{\partial t}=\beta\frac{SI}{N} – (\mu + a)E, $$$$ \frac{\partial I}{\partial t}=aE – (\mu + \nu)I, $$$$ \frac{\partial R}{\partial t}=\nu I – \mu R. $$

Implementace¶

Numericky vyčíslit řešení takové soustavy je v dnešní doba velmi lehká záležitost. Využijme nástroj ‚odeint‘, který je součásti balíku SciPy. Ten je přímo určen na řešení soustavy diferenciálních rovnic 1.řádu ve tvaru $\frac{\partial f}{\partial t}=g(t)$, tedy rovnic, kde první derivace je převedena na levou stranu, zbytek na pravou.

Nejprve importujeme příslušnou knihovnu a definujeme naši soustavu

kde pole ‚y‘ představuje pole našich funkcí $S,E,I,R$ a ‚dydt‘ je pole pravých stran. Pokud je funkce zavedena přesně tímto způsobem, může být využit řešič ‚odeint‘ a jedním řádkem kódu vyřešena naše soustava.